円周率\(π\)=3.14は中学生の知識で求められる！【モンテカルロ法とは】

この記事では円周率\(π\)を、中学生が習う確率を使って求めるモンテカルロ法について解説をしていきます！

モンテカルロ法って何？

モンテカルロ法とは、普通に解くのが難しい計算式に対して、試しに色々な数を大量に当てはめて計算式の近似解を求める方法です。

この「試しに色々な数」は、「乱数」と呼ばれています。

コンピューターが発達したことにより、この乱数を大量に使って計算式の近似的な解を求めることができます。

ちなみにモンテカルロ法は、円周率\(π\)を求める以外の用途でも使われています。

今回は円周率\(π\)を求めるアルゴリズムとして、モンテカルロ法を用います！

モンテカルロ法で円周率\(π\)を求める手順

モンテカルロ法で円周率\(π\)を求めるためには、下の図を使います。

1辺の長さが2の正方形(緑)に、半径1の円(オレンジ)がスッポリ収まっている状態です。
この正方形の範囲の中で、正方形に向かって完全ランダムに矢を発射します。

矢を発射すると、矢はオレンジか緑の領域どちらかに刺さることになります。

ここで、矢がオレンジ円の中に刺さる確率Pを考えてみます。
確率Pは、理論上シンプルに考えると、

となりますね。

今回は\(π\)の値が知りたいので、下の式のように

\(π=\) の形にすれば、確率Pから円周率\(π\)が求められます。

例えば、矢を20本発射して15本が円の中に刺さった場合、結果的に確率Pは

$$P = \frac{円の中に刺さった数(15)}{発射した矢の数(20)} = 0.75$$

となります。
このことから、円周率\(π\)は、

$$π = 4 × 0.75 = 3$$

と求められます。\(π=3\)ということは、さっき出てきた確率Pの理論式

$$P = \frac{円の面積}{正方形の面積} = \frac{π×1^2}{2×2}$$

から、今の例では円の面積が3であることを実験的に示していることになります。

以上が、確率Pの実験的な求め方と円周率\(π\)算出の例です。

ここからは、実際にシミュレーションでモンテカルロ法を再現していきます。

モンテカルロ法をシミュレーションで再現

正方形の的に向かってランダムに矢を発射するプログラムを組んだので、
早速シミュレーションしてみます。

シミュレーションで得られた確率Pを4倍して、円周率\(π\)の値を求めます。

矢が刺さった場所は小さな丸い点で示します。
（オレンジ：円の中に刺さった矢、緑：円の外に刺さった矢）

試しに矢を100本、的めがけて発射してみると下の図のような分布になりました。

そこで、今度は矢の本数を1万本にしてシミュレーションしてみると、

さらに、矢の本数を100万本に増やしてシミュレーションしてみると、

このようにして、試行回数を大量に増やすことで円周率πの近似解を求める方法がモンテカルロ法です。

試行回数をさらに増やせば、より精度の高い近似解が得られます。

円周率\(π\)を確率で求めるモンテカルロ法のまとめ

ここまで、モンテカルロ法について解説してきました。
最後に今回のまとめです！